信息论

信息论量化了信息、惊奇以及概率分布之间的差异。本文件涵盖熵、交叉熵、KL散度、互信息和惊奇度——这些概念是机器学习中每个分类损失函数、VAE目标以及数据压缩方案的基础。

• 信息论由克劳德·香农于1948年创立，为我们提供了一个量化信息的数学框架。它回答了这样的问题：一个事件应该让你感到多惊讶？一条消息携带了多少信息？两个概率分布有多大差异？

• 这些问题听起来抽象，但它们是机器学习损失函数、数据压缩和通信系统的基础。交叉熵损失（分类中最常见的损失函数）直接源于信息论。

• 从最简单的问题开始：单个事件携带多少信息？

• 惊奇度（也称为自信息）衡量一个事件令人惊讶的程度。如果一件非常可能的事情发生了，你几乎学不到什么。如果一件罕见的事情发生了，你会学到很多。

• 如果你住在沙漠里，有人告诉你天气晴朗，这信息量不大。如果他们告诉你正在下雪，这信息量就非常大。惊奇度形式化了这种直觉：

\[I(x) = \log_2 \frac{1}{p(x)} = -\log_2 p(x)\]

• 当我们使用 \(\log_2\) 时，单位是比特。一次公平的抛硬币的惊奇度为 \(-\log_2(0.5) = 1\) 比特。一个概率为 \(1/8\) 的事件的惊奇度为 \(\log_2(8)=3\) 比特。

• 为什么用对数而不用 \(1/p\)？三个原因：

  • 确定事件（\(p=1\)）应该给出零信息：\(\log(1)=0\) 但 \(1/1=1\)。
  • 独立事件应该有可加的信息：\(\log(1/p_1p_2)=\log(1/p_1)+\log(1/p_2)\)。
  • 我们需要一个平滑、行为良好的函数。\(1/p\) 会爆炸；\(\log(1/p)\) 增长平缓。

• 熵是期望的惊奇度，即从分布中采样每个事件时平均获得的信息量。它衡量分布的不确定性或“不可预测性”：

\[H(X) = E[I(X)] = -\sum_{x} p(x) \log_2 p(x)\]

• 公平硬币的熵为 \(H = -0.5\log_2(0.5) - 0.5\log_2(0.5) = 1\) 比特。最大不确定性。

• 偏倚硬币 \(p=0.9\) 的熵为 \(H = -0.9\log_2(0.9) - 0.1\log_2(0.1) \approx 0.469\) 比特。不确定性较小，因此熵较小。

• 确定性事件（\(p=1\)）的熵为 \(H=0\)。完全没有不确定性。

• 当所有结果等可能时，熵最大。对于 \(n\) 个等可能的结果，\(H = \log_2 n\)。公平骰子的熵为 \(\log_2 6 \approx 2.585\) 比特。

• 熵的实际含义是压缩。香农的信源编码定理指出，如果不丢失信息，你不能将数据压缩到低于其熵率。一幅每个像素都等可能的图像（最大熵）无法压缩。一幅大部分是白色的图像（低熵）可以很好地压缩。

• 快速感受一下规模：一个灰度像素（256个值）的最大熵为8比特。一幅1080p灰度图像最多包含 \(1920 \times 1080 \times 8 \approx 1660\) 万比特。真实图像的熵要低得多，因为相邻像素是相关的，这正是JPEG压缩有效的原因。

• 对于连续随机变量，离散求和变为积分。微分熵为：

\[h(X) = -\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \log f(x)\, dx\]

• 方差为 \(\sigma^2\) 的高斯分布的微分熵为 \(h = \frac{1}{2}\log_2(2\pi e \sigma^2)\)。在所有具有相同方差的分布中，高斯分布的熵最大。这是高斯分布在建模中如此常见的原因之一：它在指定的均值和方差之外做了最少的假设。

• 互信息衡量知道一个变量能告诉你关于另一个变量的多少信息。它是观察到 \(Y\) 时 \(X\) 不确定性的减少量：

\[I(X; Y) = H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X)\]

• 等价地：

\[I(X; Y) = \sum_{x,y} p(x,y) \log_2 \frac{p(x,y)}{p(x) p(y)}\]

• 如果 \(X\) 和 \(Y\) 独立，\(p(x,y)=p(x)p(y)\)，互信息为零。它们越依赖，互信息越高。

• 在机器学习中，互信息用于特征选择（选择与目标具有高MI的特征）、信息瓶颈方法以及评估聚类质量。

• 交叉熵衡量使用为分布 \(q\) 优化的编码对来自分布 \(p\) 的事件进行编码所需的平均比特数：

\[H(p, q) = -\sum_{x} p(x) \log_2 q(x)\]

• 如果 \(q\) 与 \(p\) 完全匹配，则交叉熵等于熵：\(H(p,p)=H(p)\)。如果 \(q\) 是一个不好的近似，交叉熵更高。“额外”的比特来自于不匹配。

• 这正是交叉熵成为机器学习中分类标准损失函数的原因。真实标签定义了 \(p\)（一个one-hot分布），模型预测的概率定义了 \(q\)。最小化交叉熵将 \(q\) 推向 \(p\)：

\[\mathcal{L} = -\sum_{c} y_c \log \hat{y}_c\]

• 对于真实类别为 \(c\) 的单个样本，这简化为 \(\mathcal{L} = -\log \hat{y}_c\)。损失是真实类别在模型预测下的惊奇度。如果模型对正确类别赋予高概率，损失就低。

• KL散度（Kullback-Leibler散度，也称为相对熵）衡量一个分布与另一个分布的差异：

\[D_{\text{KL}}(p \| q) = \sum_{x} p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} = H(p, q) - H(p)\]

• KL散度是使用分布 \(q\) 而不是真实分布 \(p\) 的“额外成本”。它总是非负的（\(D_{\text{KL}} \ge 0\)），且仅当 \(p=q\) 时为零。

• KL散度是不对称的：\(D_{\text{KL}}(p \| q) \ne D_{\text{KL}}(q \| p)\)。这种不对称性很重要。\(D_{\text{KL}}(p \| q)\) 惩罚 \(q\) 在 \(p\) 高概率的地方放置低概率（因为 \(\log(p/q)\) 会爆炸）。\(D_{\text{KL}}(q \| p)\) 则惩罚相反的情况。

• 这种不对称性导致了两种近似风格：

  • 最小化 \(D_{\text{KL}}(p \| q)\) 产生矩匹配行为：\(q\) 覆盖 \(p\) 的所有模态，但可能过于分散。
  • 最小化 \(D_{\text{KL}}(q \| p)\) 产生模式寻找行为：\(q\) 集中在一个模态上，但可能错过其他模态。这就是变分推断所使用的。

• 由于 \(H(p)\) 相对于模型是常数，最小化交叉熵 \(H(p,q)\) 等价于最小化 \(D_{\text{KL}}(p \| q)\)。这就是为什么我们可以使用交叉熵损失，并知道我们也在最小化真实分布与预测分布之间的KL散度。

• KL散度在贝叶斯更新中扮演核心角色。后验 \(P(\theta | D)\) 是在KL散度意义上与先验 \(P(\theta)\) 最接近且与观测数据一致的分布。每一个新的观测都会更新后验，减少关于 \(\theta\) 的不确定性。

• 在变分自编码器（VAE）中，损失函数有两项：重建损失（交叉熵）和KL散度项，后者正则化潜在空间使其接近标准正态分布。

• 总结一下：熵告诉你分布的内在不确定性，交叉熵告诉你模型逼近真实情况的程度，KL散度告诉你两者之间的差距。这三个量构成了现代机器学习优化的支柱。

编程任务（使用 CoLab 或 notebook）

1. 计算各种分布的熵，并验证对于给定数量的结果，均匀分布具有最大熵。

   import jax.numpy as jnp
   
   def entropy(p):
       """以比特为单位计算熵。过滤掉零概率事件。"""
       p = p[p > 0]
       return -jnp.sum(p * jnp.log2(p))
   
   # 公平骰子
   fair = jnp.ones(6) / 6
   print(f"公平骰子熵：   {entropy(fair):.4f} 比特 (最大值 = log2(6) = {jnp.log2(6.):.4f})")
   
   # 有偏骰子
   loaded = jnp.array([0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.5])
   print(f"有偏骰子熵： {entropy(loaded):.4f} 比特")
   
   # 确定性
   det = jnp.array([0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0])
   print(f"确定性：      {entropy(det):.4f} 比特")
   
   # 公平硬币
   coin = jnp.array([0.5, 0.5])
   print(f"公平硬币熵：  {entropy(coin):.4f} 比特")
   

2. 计算真实分布与几种近似之间的交叉熵和KL散度。验证 \(D_{\text{KL}}(p \| q) = H(p, q) - H(p)\)。

   import jax.numpy as jnp
   
   def cross_entropy(p, q):
       return -jnp.sum(p * jnp.log2(jnp.clip(q, 1e-10, 1.0)))
   
   def kl_divergence(p, q):
       mask = p > 0
       return jnp.sum(jnp.where(mask, p * jnp.log2(p / jnp.clip(q, 1e-10, 1.0)), 0.0))
   
   def entropy(p):
       p = p[p > 0]
       return -jnp.sum(p * jnp.log2(p))
   
   p = jnp.array([0.4, 0.3, 0.2, 0.1])  # 真实分布
   
   for name, q in [("精确匹配", p),
                   ("轻微失配", jnp.array([0.35, 0.30, 0.25, 0.10])),
                   ("严重失配", jnp.array([0.1, 0.1, 0.1, 0.7]))]:
       h_p = entropy(p)
       h_pq = cross_entropy(p, q)
       kl = kl_divergence(p, q)
       print(f"{name:10}: H(p)={h_p:.4f}, H(p,q)={h_pq:.4f}, "
             f"KL={kl:.4f}, H(p,q)-H(p)={h_pq-h_p:.4f}")
   

3. 通过计算两个不同分布的 \(D_{\text{KL}}(p \| q)\) 和 \(D_{\text{KL}}(q \| p)\)，证明KL散度是不对称的。

   import jax.numpy as jnp
   
   def kl_div(p, q):
       mask = p > 0
       return float(jnp.sum(jnp.where(mask, p * jnp.log2(p / jnp.clip(q, 1e-10, 1.0)), 0.0)))
   
   p = jnp.array([0.9, 0.1])
   q = jnp.array([0.5, 0.5])
   
   print(f"D_KL(p || q) = {kl_div(p, q):.4f}")
   print(f"D_KL(q || p) = {kl_div(q, p):.4f}")
   print("不一样！KL散度是不对称的。")
   

4. 模拟训练过程中的交叉熵损失。创建一个“真实”的one-hot标签，并展示随着模型预测概率的提高，损失如何下降。

   import jax.numpy as jnp
   import matplotlib.pyplot as plt
   
   # 真实标签：4个类别中的第2类（索引从0开始）
   true_label = jnp.array([0, 0, 1, 0])
   
   # 模拟预测的改善过程
   steps = []
   losses = []
   for confidence in jnp.linspace(0.25, 0.99, 50):
       # 模型对类别2越来越自信
       remaining = (1 - confidence) / 3
       pred = jnp.array([remaining, remaining, confidence, remaining])
       loss = -jnp.sum(true_label * jnp.log(jnp.clip(pred, 1e-10, 1.0)))
       steps.append(float(confidence))
       losses.append(float(loss))
   
   plt.figure(figsize=(8, 4))
   plt.plot(steps, losses, color="#e74c3c", linewidth=2)
   plt.xlabel("模型对真实类别的置信度")
   plt.ylabel("交叉熵损失")
   plt.title("交叉熵损失随预测改善而下降")
   plt.grid(alpha=0.3)
   plt.show()