计数

计数是计算概率的前提，你必须在分配可能性之前知道有多少种结果。本文件涵盖了乘法和加法原理、阶乘、排列、组合、二项式系数，这些组合工具是机器学习中抽样、哈希和概率分析的基础。

• 在计算概率之前，我们需要计数结果。如果你想知道在扑克中拿到一手赢牌的概率，你首先需要知道一共有多少手牌，以及其中有多少手是赢牌。计数是使概率精确的机制。

• 最简单的计数原理是乘法原理。如果一个决策有 \(m\) 种选项，另一个独立的决策有 \(n\) 种选项，那么总的组合结果数为 \(m \times n\)。

• 想象一下早上穿衣服。你有 3 件衬衫和 4 条裤子。每件衬衫可以与每条裤子搭配，因此总共有 \(3 \times 4 = 12\) 套搭配。

• 乘法原理可以扩展到任意多个选择。如果你还有 2 双鞋，那么总的搭配数变为 \(3 \times 4 \times 2 = 24\)。每一个新的独立选择都会乘以总计数。

• 加法原理处理“或”的情景。如果事件 A 可以以 \(m\) 种方式发生，事件 B 可以以 \(n\) 种方式发生，且它们不能同时发生（互斥），那么总的方式数为 \(m + n\)。

• 假设你从城市 X 到城市 Y 可以乘汽车（3 条路线）或乘火车（2 条路线）。你不能同时选择两种，因此总选项为 \(3 + 2 = 5\)。

• 当事件重叠时，你需要减去重复计数。如果 \(A\) 和 \(B\) 可以同时发生，则计数为 \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\)。这就是容斥原理，它将在我们讨论概率加法原理时再次出现。

• 非负整数 \(n\) 的阶乘是从 1 到 \(n\) 所有正整数的乘积：

\[n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1\]

• 可以把阶乘理解为：将 \(n\) 个不同的物体排成一行有多少种方式？书架上三本书的排列方式有 \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) 种。按照惯例，\(0! = 1\)。

• 阶乘增长非常快。\(10! = 3{,}628{,}800\)，而 \(20!\) 已经超过 \(2.4 \times 10^{18}\)。这种爆炸式增长正是为什么在组合问题中暴力搜索变得不切实际。

• 排列是物体的有序排列。当你从 \(n\) 个不同物体中选出 \(r\) 个且顺序重要时，排列数为：

\[P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}\]

• 想象从 10 人的俱乐部中选出主席、副主席和财务主管。第一个角色有 10 名候选人，第二个角色有 9 名，第三个角色有 8 名。这就得到 \(P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720\)。公式验证了这一点：\(\frac{10!}{7!} = 720\)。

• 组合是无序的选择。当你从 \(n\) 个物体中选出 \(r\) 个且顺序不重要时，我们需要除掉冗余的排序：

\[C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}\]

• 符号 \(\binom{n}{r}\) 读作“n 选 r”。关键在于：每个组合对应 \(r!\) 个排列（选出的 \(r\) 个物体可以以 \(r!\) 种方式重排），所以我们将排列数除以 \(r!\)。

• 示例：从 10 人组中，可以组成多少个 3 人委员会？顺序不重要（没有主席或副主席，只是成员），所以使用组合：

\[\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\]

• 同样 10 个人产生 720 种排列，但只有 120 种组合，因为每组 3 人有 \(3! = 6\) 种内部排序。

• 组合是概率的核心。二项式系数 \(\binom{n}{r}\) 统计在 \(n\) 次试验中恰好得到 \(r\) 次成功的方式数，这是二项分布（见文件 03）的核心。

• 让我们通过一个经典的委员会问题来综合运用多种计数思想。

• 问题：一个俱乐部有 8 名男性和 6 名女性。组成一个包含恰好 3 名男性和 2 名女性的 5 人委员会，有多少种方式？

• 步骤 1：从 8 名男性中选 3 人。

\[\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\]

• 步骤 2：从 6 名女性中选 2 人。

\[\binom{6}{2} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\]

• 步骤 3：应用乘法原理。每一种男性选择可以与每一种女性选择配对：

\[56 \times 15 = 840 \text{ 个委员会}\]

• 这种模式——将一个复杂的计数问题分解为独立的子选择并相乘——是组合数学中的标准方法。

• 还有重复排列。当允许重复时，从 \(n\) 种类型中选 \(r\) 个物体，有 \(n^r\) 种结果。使用数字 0-9 的 4 位 PIN 码有 \(10^4 = 10{,}000\) 种可能。每个位置有 10 个选项，乘法原理处理其余部分。

• 重复组合（也称为“星条旗”）统计当允许重复且顺序不重要时，从 \(n\) 种类型中选 \(r\) 个物体的方式数：

\[\binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!(n - 1)!}\]

• 示例：从 4 种冰淇淋口味中选择 3 勺（允许重复）给出 \(\binom{4 + 3 - 1}{3} = \binom{6}{3} = 20\) 种选项。

• 计数工具包总结：

情景	公式
有序，无重复（排列）	\(P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)
无序，无重复（组合）	\(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
有序，有重复	\(n^r\)
无序，有重复	\(\binom{n+r-1}{r}\)

• 每个涉及等可能结果的概率计算都使用公式 \(P(\text{事件}) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}}\)。计数提供了这两个数字。有了这个基础，我们将在下一个文件中正式定义概率。

编程任务（使用 CoLab 或 notebook）

1. 计算 \(P(10, 3)\) 和 \(\binom{10}{3}\)，同时使用阶乘公式和直接计算。验证排列数总是组合数的 \(r!\) 倍。

   import jax.numpy as jnp
   from math import factorial
   
   n, r = 10, 3
   
   perm = factorial(n) // factorial(n - r)
   comb = factorial(n) // (factorial(r) * factorial(n - r))
   
   print(f"P({n},{r}) = {perm}")
   print(f"C({n},{r}) = {comb}")
   print(f"P / C = {perm // comb} (应等于 {r}! = {factorial(r)})")
   

2. 用编程解决委员会问题（8 男选 3，6 女选 2），并通过枚举所有有效委员会进行验证。

   from itertools import combinations
   from math import factorial
   
   def comb_count(n, r):
       return factorial(n) // (factorial(r) * factorial(n - r))
   
   # 公式方法
   men_ways = comb_count(8, 3)
   women_ways = comb_count(6, 2)
   print(f"公式：{men_ways} × {women_ways} = {men_ways * women_ways}")
   
   # 枚举方法
   men = [f"M{i}" for i in range(1, 9)]
   women = [f"W{i}" for i in range(1, 7)]
   count = sum(1 for _ in combinations(men, 3) for _ in combinations(women, 2))
   print(f"枚举：{count}")
   

3. 计算由 26 个小写字母组成的 4 字符密码的数量（允许重复）。然后计算其中不含重复字母的密码数量。

   from math import factorial
   
   n = 26
   r = 4
   
   with_rep = n ** r
   without_rep = factorial(n) // factorial(n - r)
   
   print(f"有重复：    {with_rep:>10,}")
   print(f"无重复： {without_rep:>10,}")
   print(f"有重复的比例：{1 - without_rep/with_rep:.2%}")
   

4. 模拟生日问题：在 \(k\) 个人中，至少有两人生日相同的概率是多少？绘制 \(k = 1\) 到 \(60\) 的概率图，并找出概率超过 50% 的位置。

   import jax
   import jax.numpy as jnp
   import matplotlib.pyplot as plt
   
   def birthday_prob_exact(k):
       """k 个人中至少有一对生日相同的概率。"""
       p_no_match = 1.0
       for i in range(k):
           p_no_match *= (365 - i) / 365
       return 1 - p_no_match
   
   ks = list(range(1, 61))
   probs = [birthday_prob_exact(k) for k in ks]
   
   plt.figure(figsize=(8, 4))
   plt.plot(ks, probs, color="#3498db", linewidth=2)
   plt.axhline(y=0.5, color="#e74c3c", linestyle="--", alpha=0.7, label="50%")
   cross = next(k for k, p in zip(ks, probs) if p >= 0.5)
   plt.axvline(x=cross, color="#e74c3c", linestyle="--", alpha=0.7)
   plt.xlabel("组大小 (k)")
   plt.ylabel("P(至少两人生日相同)")
   plt.title(f"生日问题（在 k={cross} 处超过 50%）")
   plt.legend()
   plt.grid(alpha=0.3)
   plt.show()