积分学

积分学将量在区间上累积起来，把局部的变化率变回总量。本章涵盖定积分与不定积分、微积分基本定理、积分技巧，以及在机器学习中概率密度与期望值的应用。

• 微分告诉我们某一点的瞬时变化率。积分则反过来：它将无数微小部分累加起来，计算出总量。

• 如果说导数回答的是“变化有多快？”，那么积分回答的就是“总量是多少？”

• 理解积分最简单的方式是把它看作曲线下的面积。当你绘制函数 \(f(x)\) 的图形，并沿着 \(x\) 轴从 \(a\) 到 \(b\) 把曲线与 \(x\) 轴之间的区域涂上阴影时，积分给出的就是这个区域的有符号面积。

• 为什么是“有符号”？在 \(x\) 轴上方的区域贡献正面积，下方的区域贡献负面积。这符合物理直觉：如果 \(f(x)\) 表示速度，那么积分给出的是净位移（前进减去后退），而不是总路程。

• 要计算这个面积，可以想象把区域切成 \(n\) 个很窄的竖直矩形，每个矩形的宽度为 \(\Delta x\)。矩形的高度取为切片内某一点的函数值。将它们求和：

\[\text{面积} \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^\ast) \, \Delta x\]

• 当矩形越来越细（\(n \to \infty\)，\(\Delta x \to 0\)）时，这个和就变得精确。这个极限过程定义了定积分：

\[\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^\ast) \, \Delta x\]

• \(\int\) 符号是拉长的字母“S”，代表“求和”（Sum）。\(dx\) 提醒我们，我们正在沿着 \(x\) 轴对无穷薄的切片求和。

• 不定积分（或原函数）是一个函数 \(F(x)\)，其导数为 \(f(x)\)。我们写作：

\[\int f(x)\, dx = F(x) + C\]

• \(+ C\) 是积分常数。因为任意常数的导数为零，所以存在无穷多个原函数，它们之间仅相差一个常数。例如，\(\int 2x\, dx = x^2 + C\)，因为 \(x^2 + 7\) 或 \(x^2 - 3\) 的导数仍然是 \(2x\)。

• 微积分基本定理是连接微分与积分的桥梁。它包含两部分：

• 第一部分：如果 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，那么定积分等于原函数在端点处的差值：

\[\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)\]

• 这个公式非常实用。我们不再需要计算复杂的极限和（那很困难），而是找到一个原函数，然后在两点处求值（通常很容易）。

• 第二部分：如果定义 \(F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\)，那么 \(F'(x) = f(x)\)。微分与积分互为逆运算，它们互相抵消。

• 例如，计算 \(\int_1^3 x^2\, dx\)：\(x^2\) 的一个原函数是 \(\frac{x^3}{3}\)。所以 \(\int_1^3 x^2\, dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \approx 8.67\)。

• 正如微分有规则一样，积分也有对应的逆运算规则：

函数	积分	条件
\(x^n\)	\(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)	\(n \neq -1\)
\(\frac{1}{x}\)	\(\ln\|x\| + C\)
\(e^x\)	\(e^x + C\)
\(a^x\)	\(\frac{a^x}{\ln a} + C\)
\(\sin x\)	\(-\cos x + C\)
\(\cos x\)	\(\sin x + C\)
\(k\)（常数）	\(kx + C\)

• 和/差规则同样适用：\(\int [f(x) \pm g(x)]\, dx = \int f(x)\, dx \pm \int g(x)\, dx\)。常数可以提取出来：\(\int k\, f(x)\, dx = k \int f(x)\, dx\)。

• 当一个函数直接积分较复杂时，我们有技巧可以简化它。

• u-代换是链式法则的逆运算。如果你发现被积函数形如 \(f(g(x))\) 乘以 \(g'(x)\)，就可以令 \(u = g(x)\)，则 \(du = g'(x)\, dx\)，积分就会简化。

• 例如：\(\int 2x \cos(x^2)\, dx\)。令 \(u = x^2\)，则 \(du = 2x\, dx\)。积分变为 \(\int \cos(u)\, du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C\)。

• 分部积分是乘积法则的逆运算。如果被积函数是两个函数的乘积：

\[\int u\, dv = uv - \int v\, du\]

• 策略性地选择 \(u\) 和 \(dv\)，使得剩下的积分 \(\int v\, du\) 比原积分更简单。选择 \(u\) 的口诀是LIATE：对数函数（Logarithmic）、反三角函数（Inverse trigonometric）、代数函数（Algebraic）、三角函数（Trigonometric）、指数函数（Exponential），优先从左边的类别中选取 \(u\)。

• 例如：\(\int x\, e^x\, dx\)。令 \(u = x\)（代数函数），\(dv = e^x\, dx\)。则 \(du = dx\)，\(v = e^x\)。于是：\(\int x\, e^x\, dx = x\, e^x - \int e^x\, dx = x\, e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C\)。

• 在机器学习中，积分出现在概率论中（通过对密度函数积分计算概率）、期望值（连续分布上的加权平均）以及计算 ROC 曲线下的面积。虽然实践中我们很少手工积分，但理解积分的含义有助于解读这些量。

编程任务（使用 CoLab 或 notebook）

1. 使用黎曼和数值逼近 \(\int_0^1 x^2\, dx\)，逐渐增加矩形数量，并与精确答案 \(\frac{1}{3}\) 比较。

   import jax.numpy as jnp
   
   for n in [10, 100, 1000, 10000]:
       x = jnp.linspace(0, 1, n, endpoint=False)
       dx = 1.0 / n
       area = jnp.sum(x**2 * dx)
       print(f"n={n:5d}  近似值: {area:.6f}  精确值: {1/3:.6f}")
   

2. 数值验证微积分基本定理。定义 \(F(x) = \int_0^x t^2\, dt = \frac{x^3}{3}\)，并检查它的导数（用 jax.grad 计算）是否等于 \(x^2\)。

   import jax
   import jax.numpy as jnp
   
   F = lambda x: x**3 / 3
   dF = jax.grad(F)
   
   for x in [0.5, 1.0, 2.0, 3.0]:
       print(f"x={x:.1f}  F'(x)={dF(x):.4f}  x^2={x**2:.4f}")
   

3. 可视化 \(f(x) = \sin(x)\) 从 \(0\) 到 \(\pi\) 下的面积。用 plt.fill_between 填充区域，并用黎曼和数值计算面积。

   import jax.numpy as jnp
   import matplotlib.pyplot as plt
   
   x = jnp.linspace(0, jnp.pi, 500)
   y = jnp.sin(x)
   
   plt.plot(x, y, color="purple", linewidth=2)
   plt.fill_between(x, y, alpha=0.2, color="purple")
   plt.title(f"面积 = {jnp.sum(jnp.sin(x) * (jnp.pi / 500)):.4f}  (精确值: 2.0)")
   plt.show()