抽样

抽样决定了我们如何收集数据，并直接控制我们得出的每个结论的质量。本章涵盖简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样、抽样分布、大数定律和自助法，这些方法对于机器学习中的训练/测试拆分和数据集构建至关重要。

• 在理想情况下，你会测量你所关注群体中的每一个个体。但在实际中，这几乎总是不可能的。你无法调查每一个选民、测试每一个灯泡或扫描每一位患者。因此，你抽取一个样本，并用它来了解整体。

• 总体是你想要研究的全部个体或项目的集合。样本是你实际观测到的子集。

• 参数是描述总体的数字（例如，一个国家所有成年人的真实平均身高）。

• 统计量是根据样本计算出的数字（例如，你测量的500人的平均身高）。统计量被用来估计参数。

• 结论的质量完全取决于你如何选择样本。无论你的分析多么复杂，有偏的样本都会导致有偏的结论。

• 抽样框是你实际从中抽取样本的所有个体的列表。理想情况下，抽样框与总体完全匹配，但在实践中会存在差距。

• 例如，如果你通过电话调查人们，你就会漏掉所有没有电话的人。抽样框与总体之间的差异称为覆盖误差。

• 抽样误差是样本统计量与总体参数之间的自然差异。

• 即使是一个完美的随机样本也不会完全等于总体。更大的样本可以减少抽样误差。

• 抽样有两大类别：概率抽样和非概率抽样。

• 概率抽样意味着总体中的每个成员都有已知的、非零的被选中的概率。这使你能够量化不确定性并推广结果。

• 简单随机抽样：每个个体被选中的机会均等，且每个大小为\(n\)的可能样本出现的概率相同。想象把每个名字放进帽子里然后盲抽。

• 分层抽样：根据某个共同特征（例如年龄组、地区）将总体划分为互不重叠的组（层），然后从每一层中随机抽样。这保证了每个群体都有代表性，并在各层彼此不同时减少方差。

• 整群抽样：将总体划分为多个组（群），随机选择一些群，然后将选中群中的所有个体都纳入样本。当总体在地理上分散时（例如，抽样整个学校而不是跨学区抽个别学生），这种方法很实用。

• 系统抽样：选取一个随机起点，然后从列表中每隔\(k\)个个体选取一个。例如，从第7个人开始，然后每10个人取一个（7, 17, 27, …）。实现简单，但如果列表存在隐藏模式可能会引入偏差。

• 非概率抽样并不赋予每个成员已知的被选中的概率。结果不能严格地推广，但这些方法通常更快、更便宜。

• 便利抽样：选择最容易接触到的人。在购物中心调查人们很方便，但会遗漏不去那里购物的人。

• 配额抽样：类似于分层抽样，但没有随机性。研究者通过从每组中选择容易接触的个体来填补配额（例如50名男性和50名女性）。

• 滚雪球抽样：从少数参与者开始，然后请他们招募其他人。适用于难以接触到的总体（例如研究罕见疾病），但对有联系网络的个体存在严重偏差。

• 一旦你有了抽样方法，一个自然的问题就会出现：如果我抽取一个不同的样本，会得到不同的统计量吗？几乎肯定会的。抽样分布是指同一个统计量（如样本均值）在所有可能的大小相同的样本上的分布。

• 想象抽取1000个不同的大小为30的样本，并计算每个样本的平均身高。这1000个均值形成一个分布。有些会略高于真实总体均值，有些略低于，但大多数会聚集在真实值周围。

• 这个抽样分布的标准差称为标准误：

\[SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

• 注意到标准误随着\(n\)的增大而减小。更大的样本给出更精确的估计。样本量增加到四倍，标准误减半。

• 统计学中最重要的结果是中心极限定理(CLT)。它指出：无论原始总体的形状如何，样本均值的分布随着样本量的增加趋近于正态分布。

• 更精确地说，如果\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)是来自任意具有均值\(\mu\)和有限方差\(\sigma^2\)的分布的独立观测值，那么随着\(n\)增大：

\[\bar{X} \approx \text{正态}\!\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)\]

• CLT是大多数推断统计学有效的基础。它允许我们使用正态分布作为近似，即使底层数据不是正态的，只要样本足够大。

• “足够大”是多大？一个常见的经验法则是\(n \ge 30\)，但这取决于总体偏离正态的程度。对于高度偏斜的分布，你可能需要更大的样本。对于大致对称的总体，即使\(n = 10\)也可能足够。

• CLT有三个关键条件：

  • 独立性：每个观测值不能影响其他观测值
  • 有限方差：总体方差必须存在（排除了一些奇特的分布）
  • 同分布：所有观测值都来自同一个分布

编程任务（使用 CoLab 或 notebook）

1. 可视化展现中心极限定理：从一个高度偏斜的分布中抽取样本，计算样本均值，观察均值的直方图如何变成钟形。

   import jax
   import jax.numpy as jnp
   import matplotlib.pyplot as plt
   
   key = jax.random.PRNGKey(0)
   
   # 指数分布（高度偏斜）
   population = jax.random.exponential(key, shape=(100_000,))
   
   fig, axes = plt.subplots(1, 4, figsize=(14, 3))
   sample_sizes = [1, 5, 30, 100]
   
   for ax, n in zip(axes, sample_sizes):
       keys = jax.random.split(key, 2000)
       means = jnp.array([jax.random.choice(k, population, shape=(n,)).mean() for k in keys])
       ax.hist(means, bins=40, color="#3498db", alpha=0.7, density=True)
       ax.set_title(f"n = {n}")
       ax.set_xlim(0, 4)
   
   fig.suptitle("中心极限定理：随着 n 增加，样本均值趋于正态", fontsize=13)
   plt.tight_layout()
   plt.show()
   

2. 比较简单随机抽样与分层抽样。创建一个具有明显分组的总体，并表明分层抽样在估计中具有更低的方差。

   import jax
   import jax.numpy as jnp
   
   key = jax.random.PRNGKey(42)
   
   # 总体：两个不同的组
   group_a = jax.random.normal(key, shape=(500,)) + 10   # 均值约10
   key, subkey = jax.random.split(key)
   group_b = jax.random.normal(subkey, shape=(500,)) + 20  # 均值约20
   population = jnp.concatenate([group_a, group_b])
   
   # 简单随机抽样：1000次试验，样本量20
   srs_means = []
   for i in range(1000):
       key, subkey = jax.random.split(key)
       sample = jax.random.choice(subkey, population, shape=(20,), replace=False)
       srs_means.append(sample.mean())
   srs_means = jnp.array(srs_means)
   
   # 分层抽样：每个组取10个
   strat_means = []
   for i in range(1000):
       key, k1, k2 = jax.random.split(key, 3)
       s_a = jax.random.choice(k1, group_a, shape=(10,), replace=False)
       s_b = jax.random.choice(k2, group_b, shape=(10,), replace=False)
       strat_means.append(jnp.concatenate([s_a, s_b]).mean())
   strat_means = jnp.array(strat_means)
   
   print(f"简单随机 - 均值: {srs_means.mean():.3f}, 标准差: {srs_means.std():.3f}")
   print(f"分层抽样 - 均值: {strat_means.mean():.3f}, 标准差: {strat_means.std():.3f}")
   print(f"分层抽样将方差减少了 {(1 - strat_means.var()/srs_means.var())*100:.1f}%")
   

3. 探索样本量如何影响标准误。绘制标准误对样本量的图，并确认\(1/\sqrt{n}\)的关系。

   import jax
   import jax.numpy as jnp
   import matplotlib.pyplot as plt
   
   key = jax.random.PRNGKey(7)
   population = jax.random.normal(key, shape=(50_000,)) * 10 + 50
   
   sample_sizes = [5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000]
   std_errors = []
   
   for n in sample_sizes:
       means = []
       for _ in range(500):
           key, subkey = jax.random.split(key)
           sample = jax.random.choice(subkey, population, shape=(n,))
           means.append(sample.mean())
       std_errors.append(jnp.array(means).std())
   
   plt.figure(figsize=(8, 4))
   plt.plot(sample_sizes, std_errors, "o-", color="#e74c3c", label="观测到的标准误")
   theoretical = population.std() / jnp.sqrt(jnp.array(sample_sizes, dtype=jnp.float32))
   plt.plot(sample_sizes, theoretical, "--", color="#3498db", label="σ/√n (理论值)")
   plt.xlabel("样本量 (n)")
   plt.ylabel("标准误")
   plt.legend()
   plt.title("更大的样本量使标准误缩小")
   plt.show()